기타 : http://www.tpub.com/engbas/5.htm

수학에서, 집합 S 에 이항연산 * 이 정의되어 있을 때, S의 임의의 두 원소 a, b 에 대해

가 성립하면, 이 연산은 교환법칙(交換法則, commutative law)을 만족한다고 한다. 이때 연산은 가환(可換, commutative)이라고도 한다. 교환법칙을 만족하지 않는 연산은 비가환(非可換, non-commutative)이라고 한다.

예를 들어 자연수 집합에서 덧셈과 곱셈은 교환법칙을 만족한다.

• 4 + 5 = 5 + 4
• 2 × 3 = 3 × 2

그러나 뺄셈과 나눗셈은 일반적으로 교환법칙을 만족하지 않는다.

• 4 − 5 ≠ 5 − 4
• 6 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 6

교환법칙을 만족하는 연산의 예를 들어보면 다음과 같다.

• 유리수, 실수, 복소수에서 덧셈과 곱셈.
• 행렬, 벡터의 덧셈
• 집합의 교집합, 합집합 연산

교환법칙을 만족하지 않는 예는 다음과 같다.

• 행렬의 곱셈. 3차원 벡터의 외적
• 사상 (수학)의 합성
• 사원수의 곱셈

분배법칙(分配法則)이란 수학에서, 상세히 말하자면 추상대수학에서, 이항연산에 대한 성질로 다음과 같은 곱셈과 덧셈에 대한 초등대수에서의 분배법칙

4 · (2 + 3) = (4 · 2) + (4 · 3)

을 일반화 시킨 것이다.

분배법칙의 정의 [편집]

주어진 집합 S 와 S에 대한 두 이항연산 • 와 + 에 대해, 만약 연산 • 이

• S의 임의의 원소 x, y, z 에 대해

x • (y + z) = (x • y) + (x • z);

이 성립하면 연산 • 은 연산 + 에 대해 좌분배법칙(left-distributive)이 성립한다고 한다.

• S의 임의의 원소 x, y, z 에 대해

(y + z) • x = (y • x) + (z • x);

이 성립하면 연산 • 은 연산 + 에 대해 우분배법칙(right-distributive)이 성립한다고 한다.

• 연산 + 에 대해 좌분배법칙과 우분배법칙이 모두 성립하면 연산 • 는 연산 + 에 대해 분배법칙이 성립한다고 한다.

만약 연산 • 에 대해 교환법칙이 성립하면 위의 세 조건은 모두 논리적으로 동일하다.

분배법칙의 예 [편집]

• 임의의 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수의 곱셈 ×은 덧셈 ＋에 대해 분배법칙이 성립한다.
• 합집합 연산 ∪은 교집합 연산 ∩에 대해 분배법칙이 성립하고, 교집합 연산 ∩은 합집합 연산 ∪에 대해 분배법칙이 성립한다. 또한, 교집합 연산은 대칭자 연산에 대해 분배법칙이 성립한다.
• 임의의 실수 (또는 임의의 완전 순서집합) a, b, c 에 대해, 최대값 연산 max은 최소값 연산 min에 대해 분배법칙이 성립하고, 그 역 또한 참이다.

max(a, min(b, c)) = min(max(a, b),max(a, c))

min(a, max(b, c)) = max(min(a, b),min(a, c))

• 임의의 정수 a, b, c에 대해, 최대공약수 연산 gcd는 최소공배수 연산 lcm에 대해 분배법칙이 성립하고, 그 역 또한 참이다.

gcd(a, lcm(b, c)) = lcm(gcd(a, b),gcd(a, c))

lcm(a, gcd(b, c)) = gcd(lcm(a, b),lcm(a, c))

• 임의의 실수 a, b, c 에 대해, 덧셈 ＋은 최대값 연산 max 와 최소값 연산 min에 대해 분배법칙이 성립한다.

a + max(b, c) = max(a + b, a + c)

a + min(b, c) = min(a + b, a + c)

결합법칙